Математичари решавају „двоструку главну конструкцију“ – у алтернативном универзуму


Математичари су открили велики нови доказ за једну од најпознатијих недоказаних идеја из математике, познату као двострука претпоставка. Али пут којим су кренули ка проналажењу тих доказа вероватно неће помоћи у доказивању саме претпоставке двоструког примера.

Претпоставка двоструког примена односи се на то како и када се прости бројеви – дељени само по себи и 1 – појављују на бројевној линији. "Твин примес" су прајдови који се налазе два корака један од другог на тој линији: 3 и 5, 5 и 7, 29 и 31, 137 и 139, и тако даље. Претпоставка о близанцу каже да постоји бесконачно много близанаца и да ћете се са њима сусретати без обзира колико далеко доли до бројчане линије. Такође се наводи да постоји бесконачно много правих парова са свим другим могућим размаком између њих (примарни парови који су удаљени четири корака, осам корака, 200.000 корака, итд.). Математичари су прилично сигурни да је то тачно. Изгледа да је истина. А да није истина, то би значило да празни бројеви нису случајни као што су сви мислили, што би покварило пуно идеја о томе како бројеви уопште раде. Али то нико никад није успео да докаже.

Повезан: Математичари су ближи решавању математичког проблема „милион долара“

Међутим, можда су ближи него икад раније. У раду објављеном 12. августа у часопису за штампу арКсив, како је Куанта први пут известио, двојица математичара су доказала да је претпоставка двоструког примера тачна – барем у некој врсти алтернативног свемира.

То раде математичари: радећи на великим доказима доказивањем мањих идеја успут. Понекад, лекције научене из тих мањих доказа могу вам помоћи код већег доказа.

У овом случају, математичари Вилл Савин са Универзитета Цолумбиа и Марк Схустерман са Универзитета у Висконсину доказали су верзију двоструке претпоставке за алтернативни универзум „коначних поља“: бројевни системи који не иду у бесконачност попут бројеве, али уместо тога петљајте на себе.

Вероватно свакодневно наилазите на ограничено поље на лицу сата. Иде 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, а затим се петља око 1. У том коначном пољу 3 + 3 је и даље једнак 6. Али 3 + 11 = 2.

Коначна поља имају полином или изразе попут „4к“ или „3к + 17к ^ 2-4“, рекао је Савин Ливе Сциенце, баш као што то раде редовни бројеви. Математичари су, каже он, научили да се полиноми преко коначних поља понашају слично као цели бројеви – читави бројеви на линији броја. Изјаве које су тачне за целове бројеве имају тенденцију да буду вероване и о полиномима преко коначних поља и обрнуто. И баш као што примарни бројеви долазе у паровима, полиноми долазе у паровима. На пример, близанци 3к + 17к ^ 2-4 су 3к + 17к ^ 2-2 и 3к + 17к ^ 2-6. А лепа ствар о полиномима, рекао је Савин, је да за разлику од целих бројева, када их цртате на графу, они праве геометријске облике. На пример, 2к ​​+ 1 прави графикон који изгледа овако:

(Кредитна слика: Гоогле)

А 5к + к ^ 2 прави графикон који изгледа овако:

(Кредитна слика: Гоогле)

Будући да полиноми пресликавају облике, а не тачкице које добијате када графицирате појединачне једноставне бројеве, можете користити геометрију да докажете ствари о полиномима које не можете доказати о једноставним целим бројевима.

"Нисмо били први који су приметили да можете користити геометрију за разумевање коначних поља", рекао је Схустерман за Ливе Сциенце.

Други истраживачи су доказали мање верзије хипотезе о двоструким примесама о одређеним врстама полинома преко коначних поља. Али Савинов и Схустерманов доказ захтијевао је од истраживача да се врате и почињу испочетка у многим аспектима, рекао је Савин.

"Имали смо запажање које нам је омогућило да изведемо трик … који је геометрију учинио много лепшом тако да се примењује у свим тим случајевима", рекао је Схустерман.

Тај геометријски трик рекао је да је довео до њиховог пробоја: доказујући да је ова посебна верзија двоструке претпоставке тачна за све полиномесе преко коначних поља, а не само на неке од њих.

Лоша вест, рекао је Савин, је да, пошто се њихов трик увелико ослања на геометрију, вероватно неће бити могуће да га искористе да докажу саму двоструку претпоставку. Математика у основи је превише различита.

Ипак, рекао је Схустерман, доказивање случаја коначних поља велики је нови доказ који ће се додати гомили, задиркујући математичаре са могућношћу да доказ који сви чекају негде постоји.

Као да су желели да виде врх високе стрме планине, и уместо тога повукли су се према другој планини у близини. Скоро да могу видети далеки врх, али обавијен облацима. А рута којом су кренули до врха друге планине вероватно неће радити на планини која их заиста занима.

Схустерман је рекао да се нада да ће наставити сарађивати са Савином на проблему близанаца и да је увек могуће да су нешто научили у изради овог доказа ипак важно да докажу претпоставку о близанцу.

Првобитно објављено дана Ливе Сциенце.

Све о свемирском банеру

(Кредитна слика: Футуре плц)